## Space Group Notation

This table lists the space group notations used throughout the Encyclopedia. In general, we use the first space group orientation listed in the International Tables. There are two exceptions:

• For some centrosymmetric space groups, e.g. $Fm\overline{3}m$ #227, there are two settings, reflecting a choice of origin. We always take the second setting, which places the origin of the real-space coordinate system at an inversion site.
• For rhombohedral unit cells we always use the label for the full hexagonal unit cell (H) rather than the primitive rhombohedral cell (R), which follows are choice to describe the unit cell in terms of the hexagonal lattice parameters $a$ and $c$, rather than the rhombohedral lattice parameters $a$ and $\alpha$.

The following notations are used:

• Hermann-Mauguin: (Hermann, 1928) and ( Mauguin, 1931)
• Hall: (Hall, 1981)
• “International”: a compact form of the Hermann-Mauguin notation used in the International Tables of Crystallography (Brock, 2016)
• Schoenflies: (Shoenflies, 1891) and (Shoenflies, 1923)

A more comprehensive list of all space group orientations can be found at

Number Orientation Hermann-Mauguin Hall International Schoenflies
1 P 1 P 1 $P1$ $C_{1}^{1}$
2 P -1 -P 1 $P\overline{1}$ $C_{i}^{1}$
3 b P 1 2 1 P 2y $P2$ $C_{2}^{1}$
4 b P 1 21 1 P 2yb $P2_{1}$ $C_{2}^{2}$
5 b1 C 1 2 1 C 2y $C2$ $C_{2}^{3}$
6 b P 1 m 1 P -2y $Pm$ $C_{s}^{1}$
7 b1 P 1 c 1 P -2yc $Pc$ $C_{s}^{2}$
8 b1 C 1 m 1 C -2y $Cm$ $C_{s}^{3}$
9 b1 C 1 c 1 C -2yc $Cc$ $C_{s}^{4}$
10 b P 1 2/m 1 -P 2y $P2/m$ $C_{2h}^{1}$
11 b P 1 21/m 1 -P 2yb $P2_{1}/m$ $C_{2h}^{2}$
12 b1 C 1 2/m 1 -C 2y $C2/m$ $C_{2h}^{3}$
13 b1 P 1 2/c 1 -P 2yc $P2/c$ $C_{2h}^{4}$
14 b1 P 1 21/c 1 -P 2ybc $P2_{1}/c$ $C_{2h}^{5}$
15 b1 C 1 2/c 1 -C 2yc $C2/c$ $C_{2h}^{6}$
16 P 2 2 2 P 2 2 $P222$ $D_{2}^{1}$
17 P 2 2 21 P 2c 2 $P222_{1}$ $D_{2}^{2}$
18 P 21 21 2 P 2 2ab $P2_{1}2_{1}2$ $D_{2}^{3}$
19 P 21 21 21 P 2ac 2ab $P2_{1}2_{1}2_{1}$ $D_{2}^{4}$
20 C 2 2 21 C 2c 2 $C222_{1}$ $D_{2}^{5}$
21 C 2 2 2 C 2 2 $C222$ $D_{2}^{6}$
22 F 2 2 2 F 2 2 $F222$ $D_{2}^{7}$
23 I 2 2 2 I 2 2 $I222$ $D_{2}^{8}$
24 I 21 21 21 I 2b 2c $I2_{1}2_{1}2_{1}$ $D_{2}^{9}$
25 P m m 2 P 2 -2 $Pmm2$ $C_{2v}^{1}$
26 P m c 21 P 2c -2 $Pmc2_{1}$ $C_{2v}^{2}$
27 P c c 2 P 2 -2c $Pcc2$ $C_{2v}^{3}$
28 P m a 2 P 2 -2a $Pma2$ $C_{2v}^{4}$
29 P c a 21 P 2c -2ac $Pca2_{1}$ $C_{2v}^{5}$
30 P n c 2 P 2 -2bc $Pnc2$ $C_{2v}^{6}$
31 P m n 21 P 2ac -2 $Pmn2_{1}$ $C_{2v}^{7}$
32 P b a 2 P 2 -2ab $Pba2$ $C_{2v}^{8}$
33 P n a 21 P 2c -2n $Pna2_{1}$ $C_{2v}^{9}$
34 P n n 2 P 2 -2n $Pnn2$ $C_{2v}^{10}$
35 C m m 2 C 2 -2 $Cmm2$ $C_{2v}^{11}$
36 C m c 21 C 2c -2 $Cmc2_{1}$ $C_{2v}^{12}$
37 C c c 2 C 2 -2c $Ccc2$ $C_{2v}^{13}$
38 A m m 2 A 2 -2 $Amm2$ $C_{2v}^{14}$
39 A e m 2 A 2 -2c $Aem2$ $C_{2v}^{15}$
40 A m a 2 A 2 -2a $Ama2$ $C_{2v}^{16}$
41 A e a 2 A 2 -2ac $Aea2$ $C_{2v}^{17}$
42 F m m 2 F 2 -2 $Fmm2$ $C_{2v}^{18}$
43 F d d 2 F 2 -2d $Fdd2$ $C_{2v}^{19}$
44 I m m 2 I 2 -2 $Imm2$ $C_{2v}^{20}$
45 I b a 2 I 2 -2c $Iba2$ $C_{2v}^{21}$
46 I m a 2 I 2 -2a $Ima2$ $C_{2v}^{22}$
47 P 2/m 2/m 2/m -P 2 2 $Pmmm$ $D_{2h}^{1}$
48 2 P 2/n 2/n 2/n:2 -P 2ab 2bc $Pnnn$ $D_{2h}^{2}$
49 P 2/c 2/c 2/m -P 2 2c $Pccm$ $D_{2h}^{3}$
50 2 P 2/b 2/a 2/n:2 -P 2ab 2b $Pban$ $D_{2h}^{4}$
51 P 21/m 2/m 2/a -P 2a 2a $Pmma$ $D_{2h}^{5}$
52 P 2/n 21/n 2/a -P 2a 2bc $Pnna$ $D_{2h}^{6i}$
53 P 2/m 2/n 21/a -P 2ac 2 $Pmna$ $D_{2h}^{7}$
54 P 21/c 2/c 2/a -P 2a 2ac $Pcca$ $D_{2h}^{8}$
55 P 21/b 21/a 2/m -P 2 2ab $Pbam$ $D_{2h}^{9}$
56 P 21/c 21/c 2/n -P 2ab 2ac $Pccn$ $D_{2h}^{10}$
57 P 2/b 21/c 21/m -P 2c 2b $Pbcm$ $D_{2h}^{11}$
58 P 21/n 21/n 2/m -P 2 2n $Pnnm$ $D_{2h}^{12}$
59 2 P 21/m 21/m 2/n:2 -P 2ab 2a $Pmmn$ $D_{2h}^{13}$
60 P 21/b 2/c 21/n -P 2n 2ab $Pbcn$ $D_{2h}^{14}$
61 P 21/b 21/c 21/a -P 2ac 2ab $Pbca$ $D_{2h}^{15}$
62 P 21/n 21/m 21/a -P 2ac 2n $Pnma$ $D_{2h}^{16}$
63 C 2/m 2/c 21/m -C 2c 2 $Cmcm$ $D_{2h}^{17}$
64 C 2/m 2/c 21/a -C 2bc 2 $Cmce$ $D_{2h}^{18}$
65 C 2/m 2/m 2/m -C 2 2 $Cmmm$ $D_{2h}^{19}$
66 C 2/c 2/c 2/m -C 2 2c $Cccm$ $D_{2h}^{20}$
67 C 2/m 2/m 2/a -C 2b 2 $Cmme$ $D_{2h}^{21}$
68 2 C 2/c 2/c 2/a:2 -C 2b 2bc $Ccca$ $D_{2h}^{22}$
69 F 2/m 2/m 2/m -F 2 2 $Fmmm$ $D_{2h}^{23}$
70 2 F 2/d 2/d 2/d:2 -F 2uv 2vw $Fddd$ $D_{2h}^{24}$
71 I 2/m 2/m 2/m -I 2 2 $Immm$ $D_{2h}^{25}$
72 I 2/b 2/a 2/m -I 2 2c $Ibam$ $D_{2h}^{26}$
73 I 2/b 2/c 2/a -I 2b 2c $Ibca$ $D_{2h}^{27}$
74 I 2/m 2/m 2/a -I 2b 2 $Imma$ $D_{2h}^{28}$
75 P 4 P 4 $P4$ $C_{4}^{1}$
76 P 41 P 4w $P4_{1}$ $C_{4}^{2}$
77 P 42 P 4c $P4_{2}$ $C_{4}^{3}$
78 P 43 P 4cw $P4_{3}$ $C_{4}^{4}$
79 I 4 I 4 $I4$ $C_{4}^{5}$
80 I 41 I 4bw $I4_{1}$ $C_{4}^{6}$
81 P -4 P -4 $P\overline{4}$ $S_{4}^{1}$
82 I -4 I -4 $I\overline{4}$ $S_{4}^{2}$
83 P 4/m -P 4 $P4/m$ $C_{4h}^{1}$
84 P 42/m -P 4c $P4_{2}/m$ $C_{4h}^{2}$
85 2 P 4/n:2 -P 4a $P4/n$ $C_{4h}^{3}$
86 2 P 42/n:2 -P 4bc $P4_{2}/n$ $C_{4h}^{4}$
87 I 4/m -I 4 $I4/m$ $C_{4h}^{5}$
88 2 I 41/a:2 -I 4ad $I4_{1}/a$ $C_{4h}^{6}$
89 P 4 2 2 P 4 2 $P422$ $D_{4}^{1}$
90 P 4 21 2 P 4ab 2ab $P42_{1}2$ $D_{4}^{2}$
91 P 41 2 2 P 4w 2c $P4_{1}22$ $D_{4}^{3}$
92 P 41 21 2 P 4abw 2nw $P4_{1}2_{1}2$ $D_{4}^{4}$
93 P 42 2 2 P 4c 2 $P4_{2}22$ $D_{4}^{5}$
94 P 42 21 2 P 4n 2n $P4_{2}2_{1}2$ $D_{4}^{6}$
95 P 43 2 2 P 4cw 2c $P4_{3}22$ $D_{4}^{7}$
96 P 43 21 2 P 4nw 2abw $P4_{3}2_{1}2$ $D_{4}^{8}$
97 I 4 2 2 I 4 2 $I422$ $D_{4}^{9}$
98 I 41 2 2 I 4bw 2bw $I4_{1}22$ $D_{4}^{10}$
99 P 4 m m P 4 -2 $P4mm$ $C_{4v}^{1}$
100 P 4 b m P 4 -2ab $P4bm$ $C_{4v}^{2}$
101 P 42 c m P 4c -2c $P4_{2}cm$ $C_{4v}^{3}$
102 P 42 n m P 4n -2n $P4_{2}nm$ $C_{4v}^{4}$
103 P 4 c c P 4 -2c $P4cc$ $C_{4v}^{5}$
104 P 4 n c P 4 -2n $P4nc$ $C_{4v}^{6}$
105 P 42 m c P 4c -2 $P4_{2}mc$ $C_{4v}^{7}$
106 P 42 b c P 4c -2ab $P_{2}bc$ $C_{4v}^{8}$
107 I 4 m m I 4 -2 $I4mm$ $C_{4v}^{9}$
108 I 4 c m I 4 -2c $I4cm$ $C_{4v}^{10}$
109 I 41 m d I 4bw -2 $I4_{1}md$ $C_{4v}^{11}$
110 I 41 c d I 4bw -2c $I4_{1}cd$ $C_{4v}^{12}$
111 P -4 2 m P -4 2 $P\overline{4}2m$ $D_{2d}^{1}$
112 P -4 2 c P -4 2c $P\overline{4}2c$ $D_{2d}^{2}$
113 P -4 21 m P -4 2ab $P\overline{4}2_{1}m$ $D_{2d}^{3}$
114 P -4 21 c P -4 2n $P\overline{4}2_{1}c$ $D_{2d}^{4}$
115 P -4 m 2 P -4 -2 $P\overline{4}m2$ $D_{2d}^{5}$
116 P -4 c 2 P -4 -2c $P\overline{4}c2$ $D_{2d}^{6}$
117 P -4 b 2 P -4 -2ab $P\overline{4}b2$ $D_{2d}^{7}$
118 P -4 n 2 P -4 -2n $P\overline{4}n2$ $D_{2d}^{8}$
119 I -4 m 2 I -4 -2 $I\overline{4}m2$ $D_{2d}^{9}$
120 I -4 c 2 I -4 -2c $I\overline{4}c2$ $D_{2d}^{10}$
121 I -4 2 m I -4 2 $I\overline{4}2m$ $D_{2d}^{11}$
122 I -4 2 d I -4 2bw $I\overline{4}2d$ $D_{2d}^{12}$
123 P 4/m 2/m 2/m -P 4 2 $P4/mmm$ $D_{4h}^{1}$
124 P 4/m 2/c 2/c -P 4 2c $P4/mcc$ $D_{4h}^{2}$
125 2 P 4/n 2/b 2/m:2 -P 4a 2b $P4/nbm$ $D_{4h}^{3}$
126 2 P 4/n 2/n 2/c:2 -P 4a 2bc $P4/nnc$ $D_{4h}^{4}$
127 P 4/m 21/b 2/m -P 4 2ab $P4/mbm$ $D_{4h}^{5}$
128 P 4/m 21/n 2/c -P 4 2n $P4/mnc$ $D_{4h}^{6}$
129 2 P 4/n 21/m 2/m:2 -P 4a 2a $P4/nmm$ $D_{4h}^{7}$
130 2 P 4/n 21/c 2/c:2 -P 4a 2ac $P4/ncc$ $D_{4h}^{8}$
131 P 42/m 2/m 2/c -P 4c 2 $P4_{2}/mmc$ $D_{4h}^{9}$
132 P 42/m 2/c 2/m -P 4c 2c $P4_{2}/mcm$ $D_{4h}^{10}$
133 2 P 42/n 2/b 2/c:2 -P 4ac 2b $P4_{2}/nbc$ $D_{4h}^{11}$
134 2 P 42/n 2/n 2/m:2 -P 4ac 2bc $P4_{2}/nnm$ $D_{4h}^{12}$
135 P 42/m 21/b 2/c -P 4c 2ab $P4_{2}/mbc$ $D_{4h}^{13}$
136 P 42/m 21/n 2/m -P 4n 2n $P4_{2}/mnm$ $D_{4h}^{14}$
137 2 P 42/n 21/m 2/c:2 -P 4ac 2a $P4_{2}/nmc$ $D_{4h}^{15}$
138 2 P 42/n 21/c 2/m:2 -P 4ac 2ac $P4_{2}/ncm$ $D_{4h}^{16}$
139 I 4/m 2/m 2/m -I 4 2 $I4/mmm$ $D_{4h}^{17}$
140 I 4/m 2/c 2/m -I 4 2c $I4/mcm$ $D_{4h}^{18}$
141 2 I 41/a 2/m 2/d:2 -I 4bd 2 $I4_{1}/amd$ $D_{4h}^{19}$
142 2 I 41/a 2/c 2/d:2 -I 4bd 2c $I4_{1}/acd$ $D_{4h}^{20}$
143 P 3 P 3 $P3$ $C_{3}^{1}$
144 P 31 P 31 $P3_{1}$ $C_{3}^{2}$
145 P 32 P 32 $P3_{2}$ $C_{3}^{3}$
146 H R 3:H R 3 $R3$ $C_{3}^{4}$
147 P -3 -P 3 $P\overline{3}$ $C_{3i}^{1}$
148 H R -3:H -R 3 $R\overline{3}$ $C_{3i}^{2}$
149 P 3 1 2 P 3 2 $P312$ $D_{3}^{1}$
150 P 3 2 1 P 3 2'' $P321$ $D_{3}^{2}$
151 P 31 1 2 P 31 2c (0 0 1) $P3_{1}12$ $D_{3}^{3}$
152 P 31 2 1 P 31 2'' $P3_{1}21$ $D_{3}^{4}$
153 P 32 1 2 P 32 2c (0 0 -1) $P3_{2}12$ $D_{3}^{5}$
154 P 32 2 1 P 32 2'' $P3_{2}21$ $D_{3}^{6}$
155 H R 32:H R 3 2'' $R32$ $D_{3}^{7}$
156 P 3 m 1 P 3 -2'' $P3m1$ $C_{3v}^{1}$
157 P 3 1 m P 3 -2 $P31m$ $C_{3v}^{2}$
158 P 3 c 1 P 3 -2''c $P3c1$ $C_{3v}^{3}$
159 P 3 1 c P 3 -2c $P31c$ $C_{3v}^{4}$
160 H R 3 m:H R 3 -2'' $R3m$ $C_{3v}^{5}$
161 H R 3 c:H R 3 -2''c $R3c$ $C_{3v}^{6}$
162 P -3 1 2/m -P 3 2 $P\overline{3}1m$ $D_{3d}^{1}$
163 P -3 1 2/c -P 3 2c $P\overline{3}1c$ $D_{3d}^{2}$
164 P -3 2/m 1 -P 3 2'' $P\overline{3}m1$ $D_{3d}^{3}$
165 P -3 2/c 1 -P 3 2''c $P\overline{3}c1$ $D_{3d}^{4}$
166 H R -3 2/m:H -R 3 2'' $R\overline{3}m$ $D_{3d}^{5}$
167 H R -3 2/c:H -R 3 2''c $R\overline{3}c$ $D_{3d}^{6}$
168 P 6 P 6 $P6$ $C_{6}^{1}$
169 P 61 P 61 $P6_{1}$ $C_{6}^{2}$
170 P 65 P 65 $P6_{5}$ $C_{6}^{3}$
171 P 62 P 62 $P6_{2}$ $C_{6}^{4}$
172 P 64 P 64 $P6_{4}$ $C_{6}^{5}$
173 P 63 P 6c $P6_{3}$ $C_{6}^{6}$
174 P -6 P -6 $P\overline{6}$ $C_{3h}^{1}$
175 P 6/m -P 6 $P6/m$ $C_{6h}^{1}$
176 P 63/m -P 6c $P6_{3}/m$ $C_{6h}^{2}$
177 P 6 2 2 P 6 2 $P622$ $D_{6}^{1}$
178 P 61 2 2 P 61 2 (0 0 -1) $P6_{1}22$ $D_{6}^{2}$
179 P 65 2 2 P 65 2 (0 0 1) $P6_{5}22$ $D_{6}^{3}$
180 P 62 2 2 P 62 2c (0 0 1) $P6_{2}22$ $D_{6}^{4}$
181 P 64 2 2 P 64 2c (0 0 -1) $P6_{4}22$ $D_{6}^{5}$
182 P 63 2 2 P 6c 2c $P6_{3}22$ $D_{6}^{6}$
183 P 6 m m P 6 -2 $P6mm$ $C_{6v}^{1}$
184 P 6 c c P 6 -2c $P6cc$ $C_{6v}^{2}$
185 P 63 c m P 6c -2 $P6_{3}cm$ $C_{6v}^{3}$
186 P 63 m c P 6c -2c $P6_{3}mc$ $C_{6v}^{4}$
187 P -6 m 2 P -6 2 $P\overline{6}m2$ $D_{3h}^{1}$
188 P -6 c 2 P -6c 2 $P\overline{6}c2$ $D_{3h}^{2}$
189 P -6 2 m P -6 -2 $P\overline{6}2m$ $D_{3h}^{3}$
190 P -6 2 c P -6c -2c $P\overline{6}2c$ $D_{3h}^{4}$
191 P 6/m 2/m 2/m -P 6 2 $P6/mmm$ $D_{6h}^{1}$
192 P 6/m 2/c 2/c -P 6 2c $P6/mcc$ $D_{6h}^{2}$
193 P 63/m 2/c 2/m -P 6c 2 $P6_{3}/mcm$ $D_{6h}^{3}$
194 P 63/m 2/m 2/c -P 6c 2c $P6_{3}/mmc$ $D_{6h}^{4}$
195 P 2 3 P 2 2 3 $P23$ $T_{}^{1}$
196 F 2 3 F 2 2 3 $F23$ $T_{}^{2}$
197 I 2 3 I 2 2 3 $I23$ $T_{}^{3}$
198 P 21 3 P 2ac 2ab 3 $P2_{1}3$ $T_{}^{4}$
199 I 21 3 I 2b 2c 3 $I2_{1}3$ $T_{}^{5}$
200 P 2/m -3 -P 2 2 3 $Pm\overline{3}$ $T_{h}^{1}$
201 2 P 2/n -3:2 -P 2ab 2bc 3 $Pn\overline{3}$ $T_{h}^{2}$
202 F 2/m -3 -F 2 2 3 $Fm\overline{3}$ $T_{h}^{3}$
203 2 F 2/d -3:2 -F 2uv 2vw 3 $Fd\overline{3}$ $T_{h}^{4}$
204 I 2/m -3 -I 2 2 3 $Im\overline{3}$ $T_{h}^{5}$
205 P 21/a -3 -P 2ac 2ab 3 $Pa\overline{3}$ $T_{h}^{6}$
206 I 21/a -3 -I 2b 2c 3 $Ia\overline{3}$ $T_{h}^{7}$
207 P 4 3 2 P 4 2 3 $P432$ $O^{1}$
208 P 42 3 2 P 4n 2 3 $P4_{2}32$ $O^{2}$
209 F 4 3 2 F 4 2 3 $F432$ $O^{3}$
210 F 41 3 2 F 4d 2 3 $F4_{1}32$ $O^{4}$
211 I 4 3 2 I 4 2 3 $I432$ $O^{5}$
212 P 43 3 2 P 4acd 2ab 3 $P4_{3}32$ $O^{6}$
213 P 41 3 2 P 4bd 2ab 3 $P4_{1}32$ $O^{7}$
214 I 41 3 2 I 4bd 2c 3 $I4_{1}32$ $O^{8}$
215 P -4 3 m P -4 2 3 $P\overline{4}3m$ $T_{d}^{1}$
216 F -4 3 m F -4 2 3 $F\overline{4}3m$ $T_{d}^{2}$
217 I -4 3 m I -4 2 3 $I\overline{4}3m$ $T_{d}^{3}$
218 P -4 3 n P -4n 2 3 $P\overline{4}3n$ $T_{d}^{4}$
219 F -4 3 c F -4c 2 3 $F\overline{4}3c$ $T_{d}^{5}$
220 I -4 3 d I -4bd 2c 3 $I\overline{4}3d$ $T_{d}^{6}$
221 P 4/m -3 2/m -P 4 2 3 $Pm\overline{3}m$ $O_{h}^{1}$
222 2 P 4/n -3 2/n:2 -P 4a 2bc 3 $Pn\overline{3}n$ $O_{h}^{2}$
223 P 42/m -3 2/n -P 4n 2 3 $Pm\overline{3}n$ $O_{h}^{3}$
224 2 P 42/n -3 2/m:2 -P 4bc 2bc 3 $Pn\overline{3}m$ $O_{h}^{4}$
225 F 4/m -3 2/m -F 4 2 3 $Fm\overline{3}m$ $O_{h}^{5}$
226 F 4/m -3 2/c -F 4c 2 3 $Fm\overline{3}c$ $O_{h}^{6}$
227 2 F 41/d -3 2/m:2 -F 4vw 2vw 3 $Fd\overline{3}m$ $O_{h}^{7}$
228 2 F 41/d -3 2/c:2 -F 4cvw 2vw 3 $Fd\overline{3}c$ $O_{h}^{8}$
229 I 4/m -3 2/m -I 4 2 3 $Im\overline{3}m$ $O_{h}^{9}$
230 I 41/a -3 2/d -I 4bd 2c 3 $Ia\overline{3}d$ $O_{h}^{10}$